গণিতের আলোচনা

গণিতের  আলোচনা

গতি বিষয়ক প্রধান সূত্র হল:

গতি(বেগ) = দূরত্ব / সময়

এই সূত্র ধরে আপনি অনেক অংক করতে পারবেন। কিন্তু আপনার দৃষ্টি রাখতে হবে যেন “একক” একই রকম হয়।

নিচের অংকটি দেখুন:

60 কিমি / ঘন্টা গতিতে একটি ট্রেন 9 সেকেন্ডে একটি পিলার অতিক্রম করল। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

এখানে গতি আছে ঘন্টাতে আর সময় আছে সেকেন্ডে। আপনার প্রথম কাজ হয় সেকেন্ডকে ঘন্টা করবেন অথবা ঘন্টাকে সেকেন্ড করবেন।
১ ঘন্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড

তারমানে, গতি = ৬০ কিমি/ ৩৬০০ সেকেন্ড = ১/৬০ কিমি / সেকেন্ড

এবার সূত্র টি ব্যবহার করুন:

গতি = দূরত্ব / সময়

১/৬০ কিমি/সেকেন্ড = দূরত্ব / ৯ সেকেন্ড

৯/৬০ কিমি = দূরত্ব

এইভাবে অংক করলে অংকটি হবে কিন্তু দেখবেন উত্তর মিলবে না। smile emoticon

কারণ উত্তর দেওয়া মিটারে। তাহলে ৯/৬০ কিমি কে মিটার করে ফেলুন: ৯০০০ মিটার / ৬০ = ১৫০ মিটার।

এইভাবে অংক করলে ত আপনি ২ ঘন্টায় ৫০ টি প্রশ্ন ও সমাধান করতে পারবেন না। কিন্তু সবাই বলবে, “অংক মুখস্ত করবেন না। ” তাহলে উপায়??

উপায় হল প্র্যাকটিস।

আপনি এখন জানেন এরকম অংক থাকলে প্রথমেই মিটার/ সেকেন্ড করে নিতে হবে।

তাহলে অংকটি আমরা আবার করি,
গতি = ৬০ কিমি/ ঘন্টা = ৬০০০০ মিটার/ ৩৬০০ সেকেন্ড = ৫০/৩ মিটার/ সেকেন্ড

এবার সূত্র টি ব্যবহার করুন:

গতি = দূরত্ব / সময়

৫০/ ৩ মিটার/ সেকেন্ড = দূরত্ব / ৯ সেকেন্ড

দূরত্ব = ১৫০ মিটার
এবার অঙ্কটি আবার করি frown emoticon

এখানে দূরত্ব বের করতে হবে তাহলে সূত্র থেকে আমরা একবারেই লিখি

দূরত্ব = গতি X সময়
= ৬০ কিমি/ ঘন্টা X ৯ সেকেন্ড
= ৬০০০০ মি/ ৩৬০০ সেকেন্ড X ৯ সেকেন্ড
= ১৫০ মিটার

এবং দুই একবার করার পর, আপনি অংকটি করবেন এভাবে,

৬০X ১০০০/৩৬০০ X ৯ = ১৫০ : )

************************************************************************

.
শতকরা হিসাবঃ
ShortCut 1: হ্রাস বৃদ্ধি / পরিবর্তনঃ
ShortCut: {(১০০+বৃদ্ধি)*(১০০-হ্রাস)/১০০}
.
@কোন কর্মচারির বেতন ১০% বৃদ্ধি পেল এবং ১০% কমে গেল । শতকরা কি পরিবর্তন হলো?
১১০*৯০
------
১০০
= ৯৯% = ১ % হ্রাস
@ কোন আয়তক্ষেত্রর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেল এবং প্রস্থ ১০% কমে গেল । ক্ষেত্রফলের শতকরা কি পরিবর্তন হলো?
১২০*৯০
------
১০০
= ১০৮% = ৮ % বৃদ্ধি

************************************************************ৎ

১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?-- ৬ সমকোণ
২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোরসম
ষ্টি-- ৭২০ ডিগ্রি
৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলেক্ষেত্রফল
বৃদ্ধি পায়-- ৯গুন
৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডযে
বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-- অন্ত:কেন্দ্র
৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবংস্পর্শকের
অন্তর্ভুক্ত কোণ----৯০ ডিগ্রী
১.তিন কোণ দেওয়া থাকলে যে সকলত্রিভুজ আঁকা
যায় তাদের বলে-- সদৃশ ত্রিভুজ
৩.ত্রিভুজের যে কোনো বাহুকে উভয়দিকে
বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের
সমষ্টি--দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম
৩.কোন ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত
করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলি সমান হলে ,
ত্রিভুজটি-- সমদ্বিবাহু
৪. ২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণবলে ?--
প্রবৃদ্ধ কোণ
৫.একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত
হয়ে যে দু,টি সন্নিহিতকোণ উৎপন্ন হয় তাদের
সমষ্টি--১৮০ ডিগ্রি
১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি?-- ৬ সমকোণ
২.একটি সুষম ষড়ভুজের অন্ত:কোণগুলোরসম
ষ্টি-- ৭২০ ডিগ্রি
৩.বৃত্তের ব্যাস তিনগুন বৃদ্ধি পেলেক্ষেত্রফল
বৃদ্ধি পায়-- ৯গুন
৪.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডযে
বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-- অন্ত:কেন্দ্র
৫.স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবংস্পর্শকের
অন্তর্ভুক্ত কোণ----৯০ ডিগ্রী
১৷জ্যা' শব্দের অর্থ কি?=ভূমি
২৷ দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে
একটিকে অপরটির কি বলে?=সম্পূরক কোণ
৩৷ একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত
যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি
হবে=দুই সমকোণ(১৮০°)
৪৷ <A ও <B পরস্পর সম্পূরক কোণ ৷ <A=115°
হলে <B=কত?=65°
৫৷ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত?=৯০°
৬৷ সম্পূরক কোণের মান কত?=১৮০°
১. কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিতকরলে
উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-- ৩৬০ ডিগ্রী
২.সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্নবাহুদ্বয়
যথাক্রমে ৩,৪ সেমি হলে,অতিভুজের মান কত?-- ৫
সে.মি
৩.সামন্তরিকের বিপরীত কোণেরঅর্ন্তদ্বি
খন্ডকদ্বয়--পরস্পর সমান্তরাল
৪. একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে ,
বর্গক্ষেত্র দু.টির কর্ণের অনুপাত কত?--৪:১
৫.রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে
সমদ্বিকন্ডিত করলে তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ--
৯০ ডিগ্রী------বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য
※ পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়?=পরিধি
※ বৃত্তের পরিধির সূত্র=2πr
※পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয়=চাপ
※পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ
সরলরেখাকে বলা হয়=জ্যা( বৃত্তের ব্যাস হচ্ছে
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
※ বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই=ব্যাস
※ কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে বলা
হয়=ব্যাসার্ধবৃত্ত সম্পর্কিত কিছু ধারণাঃ
※একই সরলরেখায় অবস্থিত তিনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে
কোন বৃত্ত আকা যায়না।
※দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে ৩টি বৃত্ত আকা যায়।
※একটি বৃত্তের যেকোন দুটি বিন্দুর সংযোজক
রেখাকে জ্যা বলা হয়।
※বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে π বলে।
※বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোন বিন্দুর
দুরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
※বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে
সমদূরবর্তী।
※বৃত্তের দুটি জ্যায়ের মধ্যে কেন্দ্রের
নিকটতম জ্যাটি অপর জ্যা অপেক্ষা বড়।
※বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
※বৃত্তের যে কোন জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক
কেন্দ্রগামী।
※কোন বৃত্তের ৩টি সমান জ্যা একই বিন্দুতে ছেদ
করলে ওই বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত
হবে।
※অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ।
»বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
»বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =πr²
( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
»গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =4πr²
»গোলকের আয়তন =4÷3(πr³)----------
১৷ সর্বপ্রথম সেট তত্ত্বের ধারণা দেন---=জর্জ
ক্যান্টর
২৷ ভেনচিত্র কে আবিষ্কার করেন ----=জনভেন
৩৷ একক সেটের উপাদান সংখ্যা --=১টি
৪৷ সেটকে প্রকাশ করার কয়টি পদ্ধতি আছে---=২টি
৫৷ ঃ '' দ্বারা কি বোঝায়--=যেন-----
গণিতবিদের নামের তালিকা
১. সংখ্যাতত্ত্ব---- পিথাগোরাস
২. জ্যামিতি------ইউক্লিড
৩. ক্যালকুলাস ----- নিউটন
৪. ম্যাট্রিক্স -------- কেইসে
৫. ত্রিকোণমিতি------ হিপ্পারচাস
৬. পাটিগণিত------ আর্যভট্র
৭. বীজগণিত ------- মুসা আল খারিজমী
৮. লগারিদম------জননেপিয়ার
৯. সেটতত্ত্ব--------জর্জ ক্যান্টর
১০. আলগরিদম-------ব্রহ্মগুপ্ত
১১. শূন্যে আবিষ্কারক ------ব্রহ্মগুগুপ্ত ও
আর্যভট্র----------------------
°সেকেন্ডের ক্ষুদ্রতম এককগুলো এক পলকে
দেখে নিন———
@@১মিলি সেকেন্ড=১সেকেন্ডের এক হাজার
ভাগের এক ভাগ
@@১মাইক্রো সেকেন্ড =১সেকেন্ডের দশ
ভাগের এক ভাগ
@@১ ন্যানো সেকেন্ড =১সেকেন্ডের
একশত কোটি ভাগের এক ভাগ
@@১ পিকো সেকেন্ড=১ সেকেন্ডের এক
লক্ষ কোটি সেকেন্ডের এক ভাগ------------
---------
গণিতঃ সুদ- কষা
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি ঃ
১। মূলধন = (মুনাফা * ১০০) / (সুদের হার * সময়) ।
২ । সুদের হার = (মুনাফা * ১০০) / (সময় * মূলধন)
৩ । মুনাফা = ( মূলধন * সুদের হার * সময় ) / ১০০
৪ । সময় = (মুনাফা * ১০০) / (সুদের হার * মূলধন )
উপরের ৪ টা সূত্র কিন্তু আসলে একটা সূত্র।
সেটি হলো,
সরল মুনাফা , I = Crt/100এখানে , I = মুনাফা , C= মূলধন
, r = সুদের হার , t= সময় (বছর)।
চক্র বৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে , P =C (1+r)^n

****************************************************************

শতকরা হিসাব এর বিভিন্ন নিয়ম---
############################
‪#‎সূত্রঃ‬ - ১
মূল্য বৃদ্ধি পাওয়ায় ব্যবহার কমানোর ক্ষেত্রে–

ব্যবহার হ্রাসের হার = ( ১০০ X মূল্যবৃদ্ধির হার )/( ১০০ + মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ
১ ) যদি তেলের মূল্য ২৫ % বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরব বৃদ্ধি পাবে না
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = ( ১০০ X ২৫ )/(১০০ + ২৫ ) = ২০ %
২ ) চিনির মূল্য ২০ % বৃদ্ধি পয়ায়াতে কোন এক পরিবারের চিনি খাওয়া কেমন কমালে চিনি বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না ?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = ( ১০০ X ২০ )/(১০০ +২০ ) = ১৬ .৬৭ %
#সূত্রঃ- ২
মূল্য হ্রাস পাওয়ায় ব্যবহার বাড়ানোর ক্ষেত্রে–
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X মূল্য হ্রাসের হার)/( ১০০ - মূল্য হ্রাসের হার)
উদাহারণঃ
১ ) কাপড়ের মূল্য ২০ % কমে গেল। কোন ব্যক্তির খরচ বৃদ্ধি না করেও কাপড়ের ব্যবহার শতকরা কত বৃদ্ধি করতে পারে?
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X ২০ )/(১০০ - ২০ ) = ২৫ %
২ ) চালের মূল্য ২৫ % কমে গেল। একই খরচে চাল কেনা শতকরা কি পরিমাণে বৃদ্ধি পাবে?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X ২৫ )/(১০০ - ২৫ ) = ৩৩ .৩৩ %
সূত্রঃ ৩
দুটি সংখ্যার শতকরা হারের তুলনার ক্ষেত্রে –
শতকরা কম / বেশি = ( ১০০ X শতকরা কম বা বেশি )/( ১০০ + শতকরা কম
বা বেশি )
উদাহারণঃ
১ ) ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা শতকরা কত টাকা কম ?
শতকরা কম= ( ১০০ X ৩৫ )/(১০০ + ৩৫ ) = ২৫ .৯৩ %
২ ) রুমির আয় দীপুর আয় অপেক্ষা ২৫ % বেশি। দীপুর আয় রুমি অপেক্ষা শতকরা কত কম ?
শতকরা কম = ( ১০০X ২৫ )/(১০০ + ২৫ ) = ২০ %
#সূত্রঃ ৪
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার বৃদ্ধি পাওয়ায়–
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (বৃদ্ধির প্রাপ্ত মূল্যে হার X মোট মূল্য ) / (১০০ X যে পরিমাণ পণ্য কম হয়েছে )
উদাহারাণঃ
১ ) চিনির মূল্য ৬ % বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকায় পূর্বে যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩ কেজি চিনি কম কেনা যায় ! চিনির বর্তমান দর কেজি প্রতি কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (৬ X ১০৬০ )/(১০০ X ৩ ) = ২১ .২০ টাকা
#সূত্রঃ ৫
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়া–
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট মূল্য )/( ১০০ X যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে )
উদাহারাণঃ
১ ) চালের মূল্য ১২ % কমে যাওয়ায় ৬ ,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়। ১ কুইন্টাল চালের দাম কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০)/(১০০ X ১ ) = ৭২০ টাকা
#সূত্রঃ ৬
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস- বৃদ্ধির ক্ষেত্রে–
হ্রাসের হার = ( বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার)/১০০
উদাহারাণঃ
১ ) চিনির মূল্য ২০ % কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০ % বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়বে বা কমবে?
হ্রাসের হার = ( ২০ X ২০ ) /১০০ = ৪ %
#সূত্রঃ ৭
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে মূল্যের স্তকরা হ্রাস বের করতে হলে–
শতকরা মূল্য হ্রাস = ( অনুপাতের বিয়োগফল X ১০০ )/অনুপাতের প্রথম সংখ্যা
উদাহারাণঃ
১ ) মাসুদের আয় ও ব্যয় এর অনুপাত ২০ :১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ ?
শতকরা মূল্য হার = ( ২০ -১৫ ) X ১০০ /২০ = ২৫ %
*********************************************************************

শতকরা
শতকরা শুনে অনেকেই ভয় পান। কিন্তু শতকরা ভগ্নাংশ ছাড়া আর কিছুই নয়। শতকরা বলতে বুঝায় ১০০ এর মধ্যে কত।
৭০% মানে ১০০ তে ৭০।

তাহুলে, ৫০০ এর ৭০% হল ৭০*৫০০/১০০ = ৩৫০।
সাধারণত শতকরা একটি সংখ্যার সাথে থাকে। যেমন, মোট ছাত্রের ২০% কিংবা বেতনের ৭০%।
শতকরার মজার ব্যাপার হল,
৭০% কে লিখতে পারেন .৭;
৮০% কে লিখতে পারেন .৮।
কেন এমন??
আগেই বলেছি শতকরা মানে ১০০ এর মধ্যে। ৭০% মানে ৭০/১০০ = .৭
এটি সহজে গুণ করতে কাজে লাগে।
৫০০০ এর ৫০% কত? ৫০০০* ০.৫=২৫০০
৭০ এর ৩০% কত? ৭০*০.৩= ২১
শতকরা কেন দরকার?
ধরুন আপনি একটি পরীক্ষায় ৫৭ পেলেন। অন্য একটি পরীক্ষায় ৪৭ পেলেন। কোনটিতে আপনি ভাল করেছেন?
মনে হতে পারে ৫৭ তে।
এখন মনে করুন, আপনি ৫৭ পেয়েছেন ৭৫ এ আর ৪৭ পেয়েছেন ৫০ এর মধ্যে।
এবার বলুন কোনটিতে ভাল করেছেন?
এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্যে আপনাকে দুইটি পরীক্ষার মোট নাম্বারকে তুলনামূলক একটি সংখ্যাতে নিয়ে আসতে হবে। শতকরার প্রথম প্রয়োজন এখানে।
৭৫ এ ৫৭ পেলে ১০০ তে পেয়েছেন, ৫৭*১০০/৭৫ = ৭৬ অর্থাৎ ৭৬%
৫০ এ ৪৭ পেলে ১০০ তে পেয়েছেন, ৪৭*১০০/৫০= ৯৪ অর্থাৎ ৯৪%
এবার নিজেই বুঝুন, ৯৪% দিয়ে কি বুঝায়।
আপনার অফিসে বেতন ৭০০০ টাকা। আপনি বাড়ী ভাড়া বাবদ পান আরো ৩০%। আপনি এই খাতে কত টাকা পাবেন?
সহজ ভাবে দেখুন,
১০০ টাকায় পাই ৩০ টাকা
১ টাকায় পাই ৩০/১০০ টাকা
৭০০০ টাকায় পাই ৭০০০*৩০/১০০ টাকা = ২১০০ টাকা।
একটু তাড়াতাড়ি করতে চান,
৭০০০ টাকার ৩০% = ৭০০০*.৩ = ২১০০ টাকা।
এখন, বলুন তো কত টাকার ৬০% ৩৬০ টাকা?
প্রশ্নটি লিখুন,
কত টাকার ৬০%; এখানে কি বের করতে হবে?? ঐকিক নিয়মে যেই সংখ্যা বের করতে হবে তা আপনার হাতের ডান পাশে রাখুন।
৬০% কত টাকার।
৬০ টাকা হয় ১০০ টাকায়
১ টাকা হয় ১০০/৬০ টাকায়
৩৬০ টাকা হয় ১০০*৩৬০/৬০ = ৬০০ টাকায়।।
দ্রুত করতে চান?
কত টাকা (এ)র ৬০% =৩৬০
কত টাকা= ৩৬০/৬০% = ৩৬০/.৬ = ৬০০
একজন দোকানদার প্রতিহালি ডিম ২৫ টাকাদরে ক্রয় করে প্রতি ২ হালি ৫৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তাঁর শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
১হালি ডিমের ক্রয় মূল্য = ২৫ টাকা
∴ ২ হালি ডিমের ক্রয় মূল্য = ২৫ × ২ টাকা বা ৫০ টাকা।
যেহেতু
ডিমের ক্রয় মূল্য থেকে বিক্রয় মূল্য বেশি , সুতরাং লাভ হবে।
লাভ=(৫৬−৫০) টাকা বা ৬ টাকা।
৫০ টাকায় লাভ ৬ টাকা
∴ ১ ” ” ৬/৫০ টাকা
∴১০০ ” ” = ৬×১০০/৫০ টাকা।
=১২ টাকা
∴ লাভ ১২%
একটি ছাগল ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ছাগলটি আরও ৮০০ টাকা বেশি বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ছাগলটির ক্রয় মূল্য কত?
সমাধান :
ছাগলটির ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা হলে, ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য (১০০ − ৮) টাকা বা ৯২ টাকা।
আবার , ৮% লাভে বিক্রয় মূল্য (১০০+৮ ) টাকা বা ১০৮ টাকা।
∴বিক্রয় মূল্য বেশি হয় (১০৮−৯২) টাকা বা ১৬ টাকা।
বিক্রয় মূল্য ১৬ টাকা বেশি হলে ক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
” “ ১ ” ” ” ” ” = ১০০×১৬ টাকা
“ “ ৮০০ ” ” ” “ “ = ১০০× ৮০০/১৬ টাকা
= ৫০০০ টাকা
∴ ছাগলটির ক্রয় মূল্য ৫০০০ টাকা।
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে–[লাভের হার উল্লেখ থাকলে]
‪#‎ক্রয়মূল্য‬ = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
একজন বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস বিক্রি করেন।
যে মূল্যে তিনি জিনিসটি বিক্রি করলেন,তার চেয়ে ৩০টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যে তার উপর ২৫% লাভ হত। জিনিসটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
= (১০০ x ৩০)/ (১২.৫ + ২৫)
= ৮০ টাকা
সূত্রঃ ২
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যেরক্ষেত্রে – [লাভের হার উল্লেখ না থাকলে]
#ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয়২০% ক্ষতি হল। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য
কত ছিল?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা হার)
= (১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০)
= ৭০০ টাকা
সূত্রঃ ৩
লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে–
#ক্রয়মূল্য =(১০০ x বিক্রয়মূল্য)/(১০০ + লাভের শতকরা হার)
একটি ছাগল ২৭৬ টাকায় বিক্রি হওয়ায় ১৫% লাভ হয়। ছাগলটির
ক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা হার)
=(১০০ x ২৭৬)/(১০০ + ১৫)
= ২৪০ টাকা
সূত্রঃ ৪
লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে –
‪#‎বিক্রয়মূল্য‬  ={মোট লাভ(১০০ + লাভের হার)}/লাভের হার
একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করেন। মোট ২৮০ টাকা লাভ হলে জিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
#বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} /লাভের হার
= {২৮০ (১০০ + ৩৫)} /৩৫
= ১০৮০ টাকা
ভ্যান ডায়াগ্রামঃ
একটি বিষয় খেয়াল করুনঃ
একটি পরীক্ষায় ২০% গণিতে ফেল করল, ১০% বাংলা তে ফেল করল এবং উভয় বিষয়ে ফেল করল ৫%। শতকরা কত জন উভয় বিষয়ে পাশ করল।
শুধুমাত্র (যারা গণিতে ফেল করেনি) বাংলায় ফেল করল (১০-৫)% =৫%
শুধুমাত্র গণিতে ফেল করল (২০-৫)% =১৫%
মোট ফেল [শুধু বাংলা, শুধু গণিত এবং উভয় বিষয়ে]করল, (৫+৫+১৫)% = ২৫%
অতএব, উভয় বিষয়ে পাশ করল [যারা একটিও ফেল করেনি] = (১০০-২৫)% = ৭৫%
***************************************************************

«জ্যামিতি »»
«»ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল――
※সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি×উচ্চতা)
※সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
※সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু
※সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √(3/4)a²
যেখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য

«»চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল――
※আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
※বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
※সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা
«»অন্যান্য সূত্রাবলী――
※আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)
※বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর পরিমাণ
※বৃত্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²[এখানে, r বৃত্তের ব্যাসার্ধ; π = ৩.১৪৩]
※পরিধি = ২πr
※গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4 πr²
******************************************************************
গণিতের প্রাথমিক আলোচনা
>ক্যালকুলাসের আদি ধারণা দেন কে? নিউটন।
>সংখ্যাতত্ত্বের জনক কে? পিথাগোরাস।
>জ্যামিতির জনক কে? ইউক্লিড।
>রোমান M প্রতিকের অর্থ কি? 1000.
সংখ্যা পদ্ধতি
>শুন্যসংখ্যার আদি ধারণ কাদের? ভারতীয়।
>৬ অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? ৮৯৯৯৯৯। (999999-100000)
>একটি সংখ্যার শতক, দশক ও একক স্থানীয় অংক যথাক্রমে p, q, r সংখ্যাটি কত? 100p+10q+r
>১, ২ ও ৩ দ্বারা গঠিত ৩ অংকের যতটি সংখ্যা লেখা যায় তাদের সমস্টি কত? ১৩৩২।
>দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যাকে অংকদ্বয়ের গুনফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয় ৩। সংখ্যাটির সাথে ১৮ যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত? ২৪। [একক স্থানীয় মান-x , দশক স্থানীয় মান-y সংখ্যাটি 10x+y ধরে করতে হবে]
>৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে কয়টি? ১২টি। [যে কোন সংখ্যার ল.সা.গু করে সুচকে পরিনত করতে হয়]
>যদি n এবং p দুটি অযুগ্ন সংখ্যা হয়,. তবে যুগ্ন সংখ্যা? n+p. [দুইটি অযুগ্ন সংখ্যার যোগফলই যুগ্ন সংখ্যা]
>১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? ১০টি। [যে সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা বা ১ ব্যতিত ভাগ করা যায় না]
>Ö5 সংখ্যাটি কি সংখ্যা? অমুলদ । [পূর্ণবর্গ নয় এমন যে কোন সংখ্যাই অমুলদ সংখ্যা]
আর্ন্তজাতিক গনণা পদ্ধতি
>৯ কোটিতে কত মিলিয়ন হয়? ৯০ মিলিয়ন। [১০ মিলিয়নে ১কোটি]
>১ ট্রিলিয়ন কত কোটি ? ১লক্ষ কোটি। 105×107 .
>বিবিয়ানা গ্যাস ফিল্ডে ১০ ট্রিলিয়ন ঘনফুট গ্যাস মজুদ আছে। প্রতি বছর ১ লক্ষ মিলিয়ন ঘনফুট হারে উত্তোলন করা হলে কত বছরে এই ফিল্ড নিঃশেষ হবে? 100 বছরে। [১০ ট্রিলিয়ন =১০০ লক্ষ মিলিয়ন]
পরিমাপ ও এ্কক সম্পর্কে
>আন্তর্জাতিক একক পদ্ধতি চালু হয় কত সালে? ১৯৬০ সালে।
>১ কিমি সমান কত মাইল? 0.৬২ মাইল।
>১ নোটিক্যাল মাইলে কত মিটার? 1১৮৫৩.২৮ মিটার।
>সমুদ্রের পানির গভীরতা মাপার একক? ফ্যাদম।
>১.৫ ইঞ্চি ১ ফুটের কত অংশ? ১/৮ অংশ।
>৩৩২ গজ ১মাইলের কত অংশ? ১/৫ অংশ। [যেখানে ১মাইল = ১৭৬০ গজ।
ক্ষেত্র সম্পর্কিত
>এক বর্গ কিলোমিটার কত একর? ২৪৭ একর।
>একটি জমির পরিমান ৫ কাঠা হলে ,. তা কত বর্গফুট হবে? ৩৬০০ বর্গফুট।
>এক বর্গ ইঞ্চিতে কত বর্গ সেন্টিমিটার? ৬.৪৫ সেন্টিমিটার।
আয়তন সম্পর্কিত
>১ঘন মিটার = কত লিটার? ১০০০ লিটার।
>৩ লিটার পানির ওজন কত? ৩ কেজি।
>এক গ্যালনে কয় লিটার ? ৪.৫৫ লিটার।
ভর সম্পর্কিত
>১ সের সমান কত কেজি? ০.৯৩ কেজি।
>১ মনে কত কত? ৩৭.৩২ কেজি।
>১ টনে কত কেজি? ১০০০ কেজি।
>১ কেজিতে কত পাউন্ড ২.২১ আইবিএস বা পাউন্ড।
>১০ কুইন্টালে কত কেজি? ১ কেজি।

দশের সূচকের নাম
>এক ন্যানো মিটার সমান? 10-9 .
>20573.4 মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম? 0.0205734 .
>একটি যোগ করতে কম্পিউটার ৫০ ন্যানো সেকেন্ড সময় লাগলে ১ সেকেন্ডে কতটি যোগ করতে পারবে? ২ কোটি।
ল.সা.গু
>কত জন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি কলা সমান ভাবে ভাগ করে দেয়া যায়? ৫জনকে। (দুটিকে লসাগু করে)
>পাঁচটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮, ১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কত পরে ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? ১৪ মিনিট। (ল.সা.গু করে ৬০ দিয়ে ভাগ)
>কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫,. ৬ দিয়ে ভাগ করলে ভাগ করলে ভাগশেষ প্রত্যেক বার ৩ থাকবে? ৬৩। (ল.সা.গু করে ৩ যোগ করে)
>দুটি সংখ্যার গুন ফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সাগু কত? ১৬ । (ভাগ করে)
>একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের টাকা পেছনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে? ৬০ মিটার। (লসাগুর সাথে ১০ গুন)
*************************************************************
আজ আপনাদের জন্য থাকছে ‪#‎পরীক্ষায়_পাস‬-ফেল ও পরীক্ষার্থীর সংখ্যা বিষয়ক অংকের শর্ট-টেকনিকঃ
.
‪#‎সূত্র‬ -১: উভয় বিষয়ে ফেলের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে পাশের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
.
‪#‎শর্ট‬-টেকনিকঃ
উভয় বিষয়ে পাশের হার=১০০-(১ম বিষয়ে ফেলের হার + ২য় বিষয়ে ফেলের হার - উভয় বিষয়ে ফেলের হার)
‪#‎উদাহরনঃ‬
কোন পরীক্ষায় ২০% পরীক্ষার্থী গনিতে, ৩০% পরীক্ষার্থী ইংরেজীতে ফেল করলো। উভয় বিষয়ে ১৩% পরীক্ষার্থী ফেল করলে শতকরা কত জন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করলো? (প্রাথমিক সঃ
শিঃনিয়োগ(ইছামতি)পরীক্ষা-২০১০).
‪#‎সমাধানঃ‬
উভয় বিষয়ে পাশের হার(?) = ১০০ - [১ম বিষয়ে ফেলের হার(২০) + ২য় বিষয়ে ফেলের হার(৩০) - উভয় বিষয়ে ফেলের হার(১৩)]
= ১০০ - (২০+৩০-১৩)
= ৬৩%(উঃ)
==================
# সূত্র_২ : উভয় বিষয়ে পাশের হার উল্লেখ থাকলে উভয় বিষয়ে ফেলের হার নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-
#শর্ট-টেকনিকঃ
ফেলের হার=১০০-(১ম বিষয়ে পাশের হার + ২য় বিষয়ে পাশের হার - উভয় বিষয়ে পাশের হার)
(১ম টির উল্টো নিয়ম)
#উদাহরনঃ
কোন পরীক্ষায় ২০০ জনের মধ্যে ৭০% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৬০% ছাত্র অংকে পাশ করে করে। এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাশ করে। তবে উভয় বিষয়ে কত জন ফেল করলো? (সঞ্চয় অধিদপ্তর,সঃ পরিচালক,
পরীক্ষা-২০০৬)
#সমাধানঃ
উভয় বিষয়ে ফেলের হার(?) = ১০০ - [১ম বিষয়ে পাশের হার (৭০) + ২য় বিষয়ে পাশের হার(৬০) - উভয় বিষয়ে পাশের হার(৪০)]
= ১০০ - (৭০+৬০-৪০)
= ১০%
এখন,
২০০x১০%
=২০জন।(উঃ)
******************************************************************
FACTORS(উৎপাদক)
উৎপাদক MCQ সমস্যা।অপশন থেকে সহজেই উত্তর বের করা।একই নিয়মে সকল সমস্যার সমাধান।
যেমন-
১।2x2+x-15 এর উৎপাদক কোনটি?(২৪ তম বিসিএস)
ক।(x+3)(2x-5) খ।(x-3)(2x-5)
গ।(x-3)(2x+5) ঘ।(x+3)(2x+5)

সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
(x+3)(2x-5)
=2x2-5x+6x-15
=2x2+x-15(প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
তাই সঠিক উত্তর ক।
ক এ উত্তর পেয়ে গেছি তাই খ,গ ও ঘ এর মান যাচাই এর দরকার নাই।
প্রশ্নের অপশন দুটো গুন করলে প্রশ্নের সাথে মিলে গেলে সেটিই হবে উত্তর।
২।x2+2xy-2y-1 এর উৎপাদক কত?(নৌপরিবহন মন্ত্রণালয় ওপ্রতিরক্ষা মন্ত্রালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা ২০১৩)
ক।(x+y+1)(x-1) খ।(x+2y+1)(x+1)
গ।(x+y+1)(x+1) ঘ।(x+2y+1)(x-1)
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
(x+y+1)(x-1)
=x2-x+xy-y+x-1
=x2+xy-1(প্রশ্নের সাথে মিলে নাই)
তাই ক উত্তর হবে না।
খ এর মান যাচাই
(x+2y+1)(x-1)
=x2-x+2xy-2y+x-1
=x2+2xy-2y-1(প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
তাই সঠিক উত্তর খ।
খ এ উত্তর পেয়ে গেছি তাই গ ও ঘ এর মান যাচাই এর দরকার নাই।
৩।-4a2+23a+6 এর উৎপাদক কোনটি?(অর্থ মন্ত্রণালয়ের অধীন সহকারী পরিচালক নিয়োগ ২০০৯)
ক।(6-a)(4a+1) খ।(a-6)(4a+1)
গ।(a-6)(4a-1) ঘ।(6-a)(4a-1)
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
(6-a)(4a+1)
=24a+6-4a2-a
=-4a2+23a +6(প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
তাই সঠিক উত্তর ক।
ক এ উত্তর পেয়ে গেছি তাই খ,গ ও ঘ এর মান যাচাই এর দরকার নাই।
৪।উৎপাদকে বিশ্নেষণ করঃx2-2ax+(a+b)(a-b)(উপজেলা মহিলা বিষয়ক কর্মকর্তা ২০০৭)
ক।(x-a+b)(x+a-b) খ।(x-a-b)(x-a+b)
গ।(x+a-b)(x-a-b) ঘ।(x+a+b)(x-a-b)
সমাধানঃ
ক এর মান যাচাই
(x-a+b)(x+a-b)
=x2+ax-bx-ax-a2+ab+bx+ab-b2
=x2+2ab+a2-b2
=x2+2ab+(a+b)(a-b)
খ এর মান যাচাই
(x-a-b)(x-a+b)
=x2-ax+bx-ax+a2-ab-bx+ab-b2
=x2-2ax+a2-b2
= x2-2ax+(a+b)(a-b)(প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে)
তাই সঠিক উত্তর খ।
প্রশ্নের অপশনে একটি উৎপাদকের মান দেওয়া থাকলে-
নিম্নের নিয়ম অনুসারে সকল সমস্যার সমাধান করা যায়-
৫।a3-21a-20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?(গণর্পূত অধিদপ্তরের উপসহকারী প্রকৌশলী ২০১১)
ক।(a+2) খ।(a-2) গ।(a+1) ঘ।(a-1)
সমাধানঃ
একটি উৎপাদক দেওয়া থাকলে মান যাচাই করতে হবে।
ক এর মান যাচাই
ধরি,a+2=0
বা,a=-2
প্রশ্নে মান বসিয়ে
(-2)3-21*(-2)-20
=-8+42-20
=14
খ এর মান যাচাই
ধরি,a-2=0
বা,a=2
প্রশ্নে মান বসিয়ে
(2)3-21*(2)-20
=8-42-20
=-৫৪
গ এর মান যাচাই ধরি,a+1=0 বা,a=-1 প্রশ্নে মান বসিয়ে
(-1)3-21*(-1)-20
=-1+21-20
=0(শূন্য হয়েছে)
তাই সঠিক উত্তর গ।
**************************************************************